Quelques opérateurs différentiels

L'opérateur nabla $\nabla=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})$ est un pseudo-vecteur utile pour retenir les équations définissant les différents opérateurs différentiels utilisées en électo-magnétisme

Ces opérateurs sont définis de la façon suivante:

• Le gradient $grad(f)$ est un opérateur s'appliquant à une fonction $f$ dérivable de $\RR^3$ dans $\RR$. Il est défini par:
  $$grad(f) = \left( \begin{array}{l} \deriv{f}{x}\\ \deriv{f}{y}\\ \deriv{f}{z} \end{array}\right).$$
  On peut retenir la formule du gradient en notant que : $grad=\nabla(f)$.

• La divergence $div(f)$ est un opérateur s'appliquant également à une fonction dérivalble de $\RR^3$ dans $\RR^3$. Il est défini par:
  $$div(f) = \deriv{f_x}{x}+\deriv{f_y}{y}+\deriv{f_z}{z}.$$
  On peut retenir la formule de la divergence en notant que : $div=\nabla.f$ où $''.''$ représente le produit scalaire.

• Le rotationnel $rot(f)$ s'applique à une fonction définie de $\RR^3$ dans $\RR^3$. Il est défini par:
  $$rot(f)= \left( \begin{array}{l} \deriv{f_z}{y}-\deriv{f_y}{z}\\ ... ...f_x}{z}-\deriv{f_z}{x}\\ \deriv{f_y}{x}-\deriv{f_x}{y}\\ \end{array}\right).$$
  On peut retenir l'opérateur $rot$ en notant que: $rot(f) = \nabla \wedge f$ où $\wedge$ représente le produit vectoriel.

• Le laplacien scalaire $\laplac{}$ s'applique à une fonction de $\RR^3$ dans $\RR$ et est défini par:
  $$\laplac{f}=\derivxx{f}{x}+\derivxx{f}{y}+\derivxx{f}{z}.$$
  Le laplacien scalaire se retrouve à partir de l'opérateur nabla en remarquant que : $\laplac{(f)}=\nabla.\nabla(f)$.