Optimisation des transformations

Donné un nombre réel $n$, on désigne par $n_{0}$, sa valeur entière inférieure, et $n_1$ sa valeur entière supérieure. Le point $n$ est donc compris dans le segment $[n_0 ,n_1]$ (figure 4.12). De même, un point de coordonnées $n=(x,y)$ est compris entre $4$ points ( $n_{00},n_{01},n_{10},n_{11})$. Dans ce cas, $n_{01}$ désigne le point de coordonnées entière $([x],[y]+1)$ où $[x]$ est la partie entière inférieure. Ce schéma ce généralise en $3D$ où un point est inclus dans un cube défini par $8$ points $n_{000}$ à $n_{111}$ (figure 4.13).

En dimension $1$(figure 4.12(a)) : On suppose que $n_0$ et $n_1$ sont associés à des valeurs $p_0$ et $p_1$. La valeur $p$ associée à $n$ peut être définie par interpolation linéaire. Si l'on appelle cette fonction $L^1(t)$ on a :

$$L^1(t)=p_0+(p_1-p_0)t$$

interpoInterpolation en dimensions 1 et 2

1. En dimension 2 (figure 4.12(b)) : Chaque point $n_{ij}$ est associé à une valeur $p_{ij}$. Donnez la valeur $p$ associée à $n$ en fonction de $t$ et $u$.
   • Calculer la valeur associé aux points $n_0$ et $n_1$ par interpolation linéaire.

   • Interpolez linéairement entre $n_0$ et $n_1$ pour touver la valeur de $n$.
   La fonction obtenue s'appellera $L^2(t,u)$.

2. En dimension 3(figure 4.13) : On désigne par $L^2_0$ l'interpolation bilinéaire sur le rectangle $(n_{000},n_{001},n_{011},n_{010})$ et par $L_1^2$ l'interpolation bilinéaire sur le rectangle $(n_{100},n_{101},n_{111},n_{110})$. $n_0$ et $n_1$ représentent la projection de $n$ sur chacun de ces rectangles. Donnez la valeur de $p_0$ et $p_1$ en utilisant $L_0^2$ et $L_1^2$. Déduisez en la valeur $p$ de $n$ à l'aide d'une interpolation linéaire entre $n_0$ et $n_1$. La fonction s'appellera $L^3(t,u,v)$.

interpo3DInterpolation 3D

On suppose que l'on a trois tableaux de float $c_1,c_2$ et $c_3$ de taille $[32][32][32]$. L'entrée $c_l[i][j][k]$ code la composante $l$ de la transformée du triplé $RGB$ $(i*8,j*8,k*8)$ dans un espace couleur donné.

1. A t'on calculé la transformée de tous les triplés $RGB$ ? Pourquoi ?

2. Utilisez les question précédentes pour déduire la transformée de tout triplé $(R,G,B)$.On donnera pour cela :
   • Les coordonnées des points $n_{000}$ à $n_{111}$ que l'on doit utiliser ;

   • la valeur de $t,u$ et $v$ ;

   • la valeur associée à un point $n_{ijk}$ pour la composante $1$ ;

   • Une description en quelques lignes de l'algorithme calculant la valeur de la composante $1$ d'un triplet $RGB$.

3. Si l'on doit calculer les tableaux $c_1,c_2$ et $c_3$ au début de l'algorithme, cette méthode est elle efficace pour calculer la transformée des couleurs d'une image $256\times 256$ ? Proposez une solution (simple).