Les opérateurs optimaux

Canny [Can86] modélise un contour $C$ comme la superposition d'un saut d'amplitude $S$ et d'un bruit blanc $B$.

$$C(x) = S_0S(x) + B(x).$$

La fonction $S$ est modélisée par la fonction $\car_{[0,+\infty)}$ où $\car$ est la fonction caractéristique.

Suivant ce formalisme, le détecteur de contour idéal $h$ est celui qui, convolué à $C$, présente un maximum en 0. Cette contrainte n'étant pas suffisante pour déterminer $h$, Canny impose trois conditions supplémentaires à son détecteur de contour :

• Une bonne détection
• Une bonne localisation
• Une faible multiplicité des maxima dûs au bruit.

La formalisation de ces trois conditions impose à la fonction $h$ de respecter l'équation différentielle suivante :

$$2h(x) -2\lambda_1h''(x) + 2\lambda_2h^{(3)}(x)+\lambda_3 = 0.$$

Les conditions aux limites imposées à la fonction $h$ permettent de fixer les paramètres $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$. Les conditions imposées par Canny permettent d'obtenir une fonction à support fini $[-M,M]$ :

$$h(0) = 0~~;~~ h(M) = 0~~;~~ h'(0) = S~~;~~ h'(M) = 0.$$

Malheureusement, ces conditions donnent une fonction $h$ très coûteuse à implémenter. Partant de ce constat, Deriche [Der87] a défini d'autres conditions aux limites donnant à la fonction $h$ un support infini :

$$h(0) = 0~~;~~ h(+\infty) = 0~~;~~ h'(0) = S~~;~~ h'(+\infty) = 0.$$

Ces conditions initiales donnent la fonction :

$$\fonction{h}{\RR}{\RR}{x}{ce^{-\alpha\vert x\vert}sin \omega x}.$$

L'analyse des critères donnés par Canny [Can86] montre que les meilleures performances du filtre sont obtenues pour $\omega$ tendant vers 0. On obtient à ce moment là $h(x)=Cxe^{-\alpha \vert x\vert}$ avec $C = \omega c$. Le paramètre $C$ est un paramètre de normalisation, le paramètre $\alpha$ contrôle quant à lui la sensibilité de l'opérateur de détection de contour. Une augmentation de $\alpha$ favorise la détection au détriment de la localisation et vice-versa. Le paramètre $\alpha$ joue ici exactement le même rôle que le paramètre $\sigma$ dans la définition du gradient de la gaussienne.

Deriche construit à partir de $h$ une fonction de lissage 1D $l$ définie par :

$$l(x) = \int_{0}^{x}h(x)dx = b(\alpha\vert x\vert+1)e^{-\alpha\vert x\vert}.$$

On définit alors la fonction de lissage 2D $L(x,y)$ par :

$$L(x,y) = l(x)l(y).$$

La fonction $L$ joue ici le rôle de la gaussienne, et le filtrage de l'image s'obtient en convoluant celle-ci avec $L$. Une fois l'image lissée, on peut calculer son gradient ou son laplacien. Ces deux opérations s'effectuent en convoluant l'image avec le gradient ou le laplacien de $L$.

L'avantage des opérateurs de Deriche par rapport à ceux de Canny vient du fait que les techniques de la transformée en $z$ [Der87], appliquées à la fonction $L$ et à ses dérivées, permettent de calculer de façon récursive la convolution des opérateurs de Deriche avec l'image. Si, par exemple, nous effectuons la convolution d'un signal mono-dimensionnel $x(m)$ avec la fonction échantillonnée $l(m)$, le signal final $y(m)$ se déduit des équations suivantes [DC87] :

$$\begin{array}{lllr} y^+(m) &=& a_0x(m) + a_1x(m-1)-b_1y^+(m-1... ...dots,1 \\ y(m) &=& y^+(m)+y^-(m)& m = 1,\dots,M\\ \end{array}$$

où $M$ représente la taille du signal et où les coefficients $a_i$ et $b_i$ se déduisent du paramètre $\alpha$.

L'application de l'algorithme décrit par les équations précédentes nécessite 8 opérations par point quelle que soit la valeur de $\alpha$. Les filtres de Deriche présentent donc les avantages suivants :

• Ils s'appuient sur une étude théorique permettant de juger et comparer différents détecteurs de contours

• Leur expression, plus simple que la gaussienne, permet, grâce à la transformée en $z$, d'obtenir une définition récursive de la convolution. Cette récursivité permet d'effectuer l'opération de convolution en un nombre fixe d'opérations par point de l'image, indépendamment du paramètre $\alpha$.

Shen et Castan [SC92,CZS89] ont adopté une démarche similaire à celle de Canny [Can86]. Les différences entre les deux méthodes portent sur la formalisation des critères décrivant un détecteur de contour optimal. La fonction obtenue par Shen est égale à $\beta e^{-\beta \vert x\vert}$. Cette fonction permet de définir des opérateurs de lissage, de gradient et de laplacien et d'effectuer une transformée en $z$ [Mon90] permettant une implémentation récursive.