Utilisation de l'erreur quadratique

Nous avons vu à la section 5.2.1 que l'erreur quadratique $\ERROR(C)$ d'un multi-ensemble permet de mesurer l'homogénéité de . De même, l'erreur quadratique d'une partition permet de mesurer l'homogénéité des ensembles formant la partition. L'utilisation de l'erreur quadratique pour la quantification repose sur le fait qu'une partition en un ensemble de multi-ensembles homogènes fournira une image quantifiée visuellement proche de l'original. Une des justifications de ce postulat repose sur la propriété suivante :

La pré-condition 6.8 étant généralement vérifiée, l'erreur de partition peut se voir comme la somme pixel à pixel des différences de couleurs au carré entre l'image originale et l'image quantifiée. Il est toutefois dangereux de voir l'erreur quadratique comme une fonction de distance entre l'image originale et l'image quantifiée. Ceci est confirmé par l'expérience suivante. L'image 6.4-(a) est obtenue à partir de l'image 6.3 par une quantification en 8 couleurs. L'image originale 6.3 comporte 15 738 couleurs. Si nous appliquons l'algorithme de tramage (ou dithering) de Floyd-Steinberg [FS76] sur l'image quantifiée 6.4-(a) nous obtenons l'image 6.4-(b) qui est visuellement beaucoup plus proche de l'image originale 6.3. L'erreur quadratique de l'image 6.4-(b) est pourtant plus élevée que celle de l'image 6.4-(a), la différence relative entre les deux erreurs étant d'environ 30%. Ce phénomène a priori surprenant est dû au fait que l'algorithme de tramage a brisé la partition créée par l'algorithme de quantification. La nouvelle partition créée par l'algorithme de tramage tient compte de propriétés locales de l'image ce qui n'est pas pris en compte dans l'erreur quadratique. Les multi-ensembles créés par l'étape de tramage ne sont plus forcément connexes et sont a priori moins homogènes. L'erreur quadratique de ces multi-ensembles est donc plus importante que celle produite par les multi-ensembles issus de la quantification. Orchard [OB91] a défini une erreur quadratique pondérée permettant de tenir compte des propriétés locales de l'image durant l'étape de quantification. Orchard remplace dans la définition de l'erreur quadratique (voir définition 4) la fonction de fréquence $f$ par la fonction de fréquence pondérée $W$, où $W(c)$ est définie comme une somme d'attributs calculés localement sur tous les pixels de couleur $c$ de l'image. Dans ce cadre, l'erreur quadratique définie dans la section 5.2.1 peut se voir comme un cas particulier d'erreur quadratique pondérée où l'attribut d'un pixel de couleur $c$ est égal à 1. Cette fonction de pondération permet de donner plus de poids aux couleurs de l'image majoritairement situées dans des régions sensibles aux erreurs de quantification.

3stoneRochers : image originale stone_q_dithApplication de l'algorithme de Floyd-Stenberg sur l'image (a)