Le modèle de Torrance-Sparrow

Contrairement au modèle de Beckmann-Spizzichino [BS87] (Section 2.2.2), le modèle de Torrance-Sparrow est basé sur l'optique géométrique. Ce modèle néglige donc l'aspect électromagnétique de la lumière. Cette approximation n'est valide que si les irrégularités de la surface sont bien supérieures à la longueur d'onde de la source.

Le modèle de surface utilisé par Torrance-Sparrow est basé sur une modélisation des irrégularités par une série de micro-facettes. Chaque facette est décrite par l'angle $\beta$ entre sa normale et la normale à la surface macroscopique (Figure 2.9). Si nous supposons la surface isotropique, la distribution des normales de facettes est rotationnellement symétrique par rapport à $\vect{n}$. La distribution de $\beta$ peut alors être modélisée par une fonction unidimensionnelle telle qu'une distribution normale de moyenne nulle et d'écart-type $\sigma_\alpha$. Sachant que $\beta$ ne peut varier qu'entre 0 et $\frac{\pi}{2}$, la fonction de densité de probabilité de $\beta$ est égale à :

$$\rho_\beta(\beta)=ce^{-\frac{\beta^2}{2\sigma_\alpha^2}}$$ avec $$c=\left(\int_0^\frac{\pi}{2}e^{-\frac{\beta^2}{2\sigma_\alpha^2}}d\beta\right)^{-1}$$

Ce modèle de surface et les lois de l'optique géométrique permettent d'obtenir une expression explicite de l'irradiance incidente à un capteur de la caméra générée par un patch de surface :

$$I=\kappa_{spec}\frac{L_idw_i}{\cos(\theta_r)}e^{-\frac{\alpha^2}{2\sigma_\alpha^2}}$$

où $\alpha$, $L_i$ et $dw_i$ représentent respectivement l'angle entre la normale et le vecteur $\vec{\nu}$ (Figure 2.7(b)), la radiance de la source et l'angle solide sous lequel le patch de surface voit la source. La constante $\kappa_{spec}$ est donné par :

$$\kappa_{spec}=\frac{\pi}{4}\left(\frac{d}{f}\right)^2\cos^4(\gamma)\frac{ca_fF'(\theta'_i,\eta')G(\theta_i,\theta_r,\psi_r)}{4}$$ (2.10)

où $F'(\theta'_i,\eta')$ représente le coefficient de Fresnel et $G(\theta_i,\theta_r,\psi_r)$ un facteur de visibilité entre le patch de surface et la source. Les angles $\theta_i$, $\theta_r$ et $\psi_r$ sont représentés sur la Figure 2.7 (Section 2.2.2). L'angle $\theta'_i$ représente l'angle entre le rayon incident et la normales aux micro-facettes susceptibles d'éclairer le capteur. La variable $\eta'$ représente l'indice complexe de réfraction tandis que $a_f$ représente la surface d'une micro-facette.

Le terme $e^{-\frac{\alpha^2}{2\sigma_\alpha^2}}$ a approximativement la même signification que le terme $e^{-\upsilon_{xy}^2\frac{T^2}{4}}$ dans le modèle de Beckmann-Spizzichino (Section 2.2.2) et correspond à un lobe spéculaire. La modélisation de la réflexion de Torrance-Sparrow en utilisant des micro-facettes et les lois de l'optique géométrique conduisent donc à un modèle ne présentant qu'un lobe spéculaire. Ce résultat est attendu dans la mesure ou les lois de l'optique géométriques ne sont valides que pour des surfaces rugueuses. Or le pic spéculaire de Beckmann-Spizzichino n'apparaît que pour des surfaces lisses ou modérément rugueuses (Section 2.2.2).

Torrance et Sparrow ajoutent un terme Lambertien à leur équation de réflexion qui devient :

$$I=\kappa_{diff}L_idw_i\cos(\theta_i)+\kappa_{spec}\frac{L_idw_i}{\cos(\theta_r)}e^{-\frac{\alpha^2}{2\sigma_\alpha^2}} \theta_i\in [0,\frac{\pi}{2}], 0 .$$ (2.11)

où $\kappa_{diff}$ représente le coefficient de réflexion diffuse (ou Lambertienne).

L'utilisation de l'optique géométrique conduit à des formules moins complexes que celles induites par les lois de l'électromagnétique. Torrance et Sparrow sont donc conduits à faire moins d'hypothèses simplificatrices que Beckmann et Spizzichino. Leur modèle inclue notamment le coefficient de Fresnel et un coefficient de masquage. Ce modèle est donc applicable à des objets non conducteurs et permet de tenir compte du masquage entre différents éléments de la scène. Ce modèle a toutefois un certain nombre de limitations :

1. L'angle $\alpha$ est supposé avoir une distribution normale. Cette limitation est équivalente à la supposition d'une distribution normale de la hauteur $h$ dans le modèle de Beckmann. Le modèle peut également être facilement adapté à d'autres types de distributions.

2. La taille des micro-facettes doit être beaucoup plus importante que la longueur d'onde du rayon incident. Cette contrainte correspond à la définition du domaine de rugosité de surface pour laquelle les lois de l'optique géométrique peuvent se substituer à celles de l'électromagnétique.

3. La source lumineuse est supposée être éloignée de la scène. Cette contrainte correspond à la modélisation par ondes planaires plutôt que sphériques dans le modèle de Beckmann.