Le métamérisme

Nous avons vu dans les paragraphes précédents que calculer la couleur associée à un spectre pouvait s'interpréter comme le calcul de la projection de ce spectre dans un sous espace de dimension 3 appelé le sous espace visuel humain. Le passage à un espace de dimension $N$ à un espace de dimension 3 implique une perte d'informations dès que $N$ est plus grand que 3 (ce qui est largement le cas). Il existe donc une quantité de spectres différents possédant la même projection et donc associés à la même sensation colorée. Ces spectres sont dits métamères.

On peut donc se représenter l'ensemble des spectres comme deux espaces orthogonaux :

• l'espace visuel humain de dimension 3 et

• un espace de dimension $N-3$. Les spectres situés dans cet espaces ne sont pas associés à une sensation colorée. Plus exactement, un spectre défini dans cet espace donnera une sensation de noir. En conséquence, cet espace est souvent appelé l'espace noir.

Si $A$ représente notre matrice d'appariement, la projection d'un spectre quelconque sur le sous espace visuel humain est donné par $P_A=A(A^tA)^{-1}A^t$ et la projection sur l'espace noir par $I-P_A$ où $I$ représente la matrice identité de $\RR^N$.

Tout spectre $f$ peut donc se décomposer en une partie visible et une partie invisible :

$$f= P_Af+(I-P_A)f.$$

Le lecteur curieux peut vérifier que :

$$\forall f\in \RR^N \left\{ \begin{array}{lll} A^tP_Af&=&A^tf\\ A^t(I-P_A)f&=& 0.\\ \end{array}\right.$$

Les spectres possédant la même projection sur l'espace visuel humain seront donc métamères. Etant donné un spectre $f$, l'ensemble de ses métamères est égal à :

$$meta(f)=\{P_Af +(I-P_A)g,\quad g\in \RR^N\}.$$