Constance chromatique

La détermination du triplet représentant une couleur s'est effectuée jusqu'à présent avec des conditions d'éclairement constant. Cette simplification du modèle ne permet pas de tenir compte du phénomène suivant : une feuille verte vue sous une lumière blanche (à midi) conserve sa couleur verte le soir (sous une lumière rouge).

Ce phénomène est à priori surprenant si nous nous reférons au modèle colorimétrique classique. En effet, les spectres du soleil à midi et le soir notés $f_m$ et $f_s$ étant très différents, l'on devrait constater des impressions visuelles $S^tf_m$ et $S^tf_s$ très différentes. Puisqu'il n'en n'est rien, nous sommes amenés à supposer que le système visuel humain (tout comme une caméra) s'adapte dynamiquement aux conditions d'éclairage.

Von Kries [Kri05,Mac70] a émis l'hypothèse que cette adaptation de l'oeil pouvait être modélisée par une fonction de gain représentée par une matrice $3\times 3$ diagonale. On a donc :

$$c'=DS^tf$$

où $D$ représente la matrice $3\times 3$ diagonale uniquement fonction des conditions d'éclairage. Supposons à présent que les fonctions de gain de notre oeil à midi et le soir soient décrites par les deux matrices $D_m$ et $D_s$. Les spectres réfléchis par la feuille à midi et le soir $f_m$ et $f_s$ nous donneront la même impression colorée si :

$$D_mS^tf_m=D_sS^tf_s.$$

Si nous raisonnons en terme d'appariement de couleur plutôt qu'en terme de réponse des cônes, nous sommes amenés à effectuer des apparariements asymétriques, ou autrement dit des appariements avec des conditions d'eclairage différents. Si nous reprenons l'équation 4.4, cet appariement est décrit par les équations:

$$\forall i\in \{1,\dots,N\}\quad D_1S^te_i = D_2S^tPa^{12}_i$$

où $D_1$ et $D_2$ représentent les deux matrices de gains correspondant aux deux conditions d'éclairement différents. Le membre droit de ces équations décrit la proportion de primaires permettant d'apparier le spectre $e_i$ sous le second éclairage alors que le membre gauche nous donne l'impression visuelle de ce même spectre sous le premier type d'éclairage. Transcrites en terme matriciel, ces équations donnent:

$$D_1S^tI = D_2S^tP(A^{12})^t=D_1S^tPA^t$$

où $A$ représente la matrice d'appariement sous les mêmes conditions d'illumination (voir equation 4.5) et $A^{12}$ la matrice d'appariement tenant compte des différents illuminants. La relation entre $A$ et $A^{12}$ est donc :

$$A^t= (S^tP)^{-1}D_1^{-1}D_2(S^tP)A^{12}.$$

On a donc:

$$\forall f \in \RR^N \quad (S^tP)A^tf = D_1^{-1}D_2(S^tP)A^{12}f.$$

Si nous reprenons l'exemple des lumières de midi et du soir, et si l'éclairage 1 correspond au soleil de midi et 2 à celui du soir, le triplet $A^{12}f$ définit la proportion de primaires nécessaire à midi pour avoir la même impression visuelle que $f$ vue le soir. A un changement de base près (défini par la matrice $S^tP$), ce triplet se déduit du triplet défini à luminosité constante $A^tf$ par une simple homothétie $D_2^{-1}D_1$.

Cette modélisation de l'adaptation du système visuel humain à l'éclairement par une matrice $3\times 3$ diagonale reste une approximation qui ne rend qu'imparfaitement compte de tous les phénomènes de constance chromatique. Toutefois, cette méthode reste très populaire en raison de sa simplicité.