Onde planes mono-chromatiques

Une onde plane sinusoidale monochromatique de longueur d'onde $\lambda$ se déplaçant dans le vide à la vitesse $c$ est définie par l'équation :

$$E(x,t)=E_0\cos(\frac{2\pi}{\lambda}(ct-x))$$

si nous introduisons le vecteur d'onde $\vect{k}=\frac{2\pi}{\lambda}\vect{u_x}$, nous obtenons :

$$E(x,t)= E_0\cos(\frac{2\pi}{\lambda}ct-\frac{2\pi}{\lambda}x)= E_0\cos(\omega t-\vect{k}.\vect{r})$$

avec $\omega=\frac{2\pi c}{\lambda}$ et $r=\vect{OM}$.

Le champ magnétique est alors donné par:

$$B(x,t)=\frac{1}{c}\vect{u_x}\land E(x,t)=\frac{\vect{k}\land E(x,t)}{\omega}$$

Les ondes électromagnétiques monochromatiques planes sont plus aisément manipulables lorsque l'on travaille en notation complexe ; on crée donc les champs complexes :

$$\EC = E_0e^{j(wt-kr)}$$ et $$\BC=B_0e^{j(wt-kr)}$$

où $j^2=-1$ représente le nombre imaginaire pur.

Dans ce cas, les champs électriques et magnétiques représentent la partie réelle de ces expressions complexes. Les dérivées par rapport au temps et à l'espace s'expriment alors aisément par :

$$\deriv{\EC}{t} = jw\EC$$    et $$div(\EC) = \deriv{\EC}{r}=-jk\EC$$

Les équations de Maxwell dans le vide se simplifient alors de la façon suivante :

• Equation du flux conservatif : $k.\BC=0$

• Equation de Maxwell-Faraday : $k\land\EC=\omega\BC$

• Equation de Maxwell-Gauss: $k.\EC=0$

• Equation de Maxwell-Ampère: $k\land\BC=-\frac{\omega}{c^2}\EC$

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