Réflection d'une onde plane monochromatique sur un métal parfait

Soit une surface $\Sigma$ de densité surfacique de courant $j_s$ et de densité surfacique de charge $\sigma$ séparant deux milieux 1 et 2. Un champ électromagnétique heurtant la surface peut être décomposé en ces composantes tangencielles $(E_T,B_T)$ et normales $(E_N,B_N)$ à la surface. Le lien entre le champ de part et d'autre de la surface est donné par les équations suivantes:

$$\left\{ \begin{array}{lll} E_{T_1}-E_{T_2}&=&0\\ B_{T_2}-B_{T_1}&=& \mu j_s\land n_{1\to 2} \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{lll} E_{N_1}-E_{N_2}&=&\frac{\sigma}{\epsilon}n_{1\to 2}\\ B_{T_2}-B_{T_1}&=& 0\\ \end{array} \right.$$ (2.1)

On observe donc une continuité de la composante tangencielle du champ électrique et de la composante normale du champ magnétique lors du passage entre les deux milieux. En revanche, la composante normale du champ électrique et tangencielle du champ magnétique sont discontinues. Le champ magnétique est continue uniquement dans le cas d'une densité de charge $\sigma$ et d'une densité de courant $j_s$ nulles.

Un métal parfait est un métal de conductivité $\gamma=\frac{i}{E}$ infinie. Aucune source de champ magnétique, et donc aucun champ ne peut exister à l'intérieur de ce métal. On a donc:

$$\rho=i=0$$ et $$E=B=0$$

Lorqu'un champ magnétique rencontre une surface plane d'un tel métal, le champ magnétique incident à la surface du métal est égal au champ magnétique incident plus le champ magnétique réfléchi. Aucun champ ne pouvant exister à l'intérieur du métal, on obtient par les équations 2.1:

$$\begin{array}{lll} E_i((0,y,z),t)+E_r((0,y,z),t)&=&0\\ B_i((0,y,z),t)+B_r((0,y,z),t)&=&\mu j_s\land n\\ \end{array}$$

en supposant que le plan $x=0$ définit la surface de séparation entre le métal et le vide et que les vecteurs $(E_i,B_i)$ soient inclus dans le plan $Oyz$. Notez que les champs électriques incident et réfléchi s'annulant à tout instant à la surface du métal doivent avoir la même fréquence, donc la réflexion sur un métal parfait ne change pas la couleur de la lumière incidente.

Soient $E_i=E_0\cos(wt-kx)$ et $B_i=B_0\cos(wt-kx)$ les champs électriques et magnétiques d'une onde plane monochromatique. Le champ magnétique réfléchis est donné par $E_r=-E_0\cos(wt+kx)$ et $B_r=B_0\cos(wt+kx)$. L'onde résultante en tout point est donc égale à:

$$\left\{ \begin{array}{lllllll} E &=& E_i+E_r&=&E_0\cos(wt-kx... ...-kx)+B_0\cos(wt+kx)&=&2B_0\cos(wt)\cos(kx). \end{array}\right.$$

Les composantes spaciales et temporelles des champs magnétiques et électriques sont décorrelées. On dit dans ce cas que l'onde est stationnaire (voir Figure 2.4). Le vecteur de Poynting de l'onde résultante est égal à :

$$R=\frac{E\land B}{\mu}=\frac{E_0^2}{\mu c}\sin(2kx)\sin(2wt)u_x.$$

La densité volumique d'énergie est donnée par :

$$\varpi=\frac{\epsilon E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu}.$$

La moyenne temporelle de cette onde est indépendante de la coordonnée spaciale x :

$$<\varpi>=\epsilon E_0^2.$$

ondes_reflechiesTracé des deux fonctions $z=\sin(x)\sin(t)$(a) et $z=cos(x-t)$(b). Ces deux tracés ne représentent pas à proprement parler des l'amplitude d'une onde élecromagnétique, mais nous renseigne sur l'allure de cette amplitude dans le cas d'une onde stationnnaire (a) et non stationnaire (b)

Etant donnés une onde électromagnétique $(E,B)$ et un plan d'incidence défini par $z=0$, l'on dira que:

• L'onde est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence si le champ $E$ est perpendiculaire au plan vectoriel défini par $\vect{x}$ et $\vect{z}$.

• L'onde est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence si le champ $E$ est inclu dans le plan vectoriel défini par $\vect{x}$ et $\vect{z}$.

Cette notion de polarisation peut sembler un peut abstraite pour un être humain qui ne percoit pas la polarisation de la lumière. Elle est toutefois très concrète pour une grande quantité d'insectes qui sont sensibles à cette propriété. On peut notamment montrer que les différentes parties du ciel sont polarisées différement celon l'heure de la journée (et donc la position du soleil). Cette propriété permet à de nombreux insectes de s'orienter même par ciel couvert. On peut également montrer que de nombreuses ailes de papillons polarisent la lumière. Cette propriété permet notamment aux papillons de ce différencier entre sexes et entre espèces voisines lors de la reproduction.

Soit une onde électromagnétique plane d'équation $E_i(x,t)=E_0cos(\omega t-kr)$ heurtant une surface $z=0$ avec un angle d'incidence $\theta$. La partie $z\leq 0$ étant occupée par un métal parfait, on peut montrer [Lum95] que l'onde réfléchie a pour équation :

• Si l'onde électromagnétique est polarisée perpendiculairement:
  $$\left\{ \begin{array}{lll} E_r &=& -E_0\cos(\omega{}t-xksin(\thet... ...\cos(\theta))(\cos(\theta)\vect{x}+\sin(\theta)\vect{z})\\ \end{array}\right.$$

• Si l'onde électromagnétique est polarisée parallèlement:
  $$\left\{ \begin{array}{lll} E_r &=& -E_0\cos(\omega{}t-xk\sin(\the... ...0}{c}\cos(\omega{}t-xksin(\theta)+zkcos(\theta))\vect{y}\\ \end{array}\right.$$

Si nous ajoutons l'onde incidente à l'onde réfléchie, nous obtenons:

• Dans le cas perpendiculaire:
  $$E=2E_0\sin(zk\cos(\theta)).\sin(\omega{}t-xk\sin(\theta))\vect{y}$$
  et:
  $$B=\left( \begin{array}{l} -\frac{2E_0}{c}\cos(\theta)\cos(zk\cos(... ...theta)\sin(zk\cos(\theta))\sin(\omega{}t-xk\sin(\theta))\\ \end{array}\right)$$

• Dans le cas parallèle:
  $$E=\left( \begin{array}{l} 2E_0\cos(\theta)\sin(zk\cos(\theta))\si... ...theta)\cos(zk\cos(\theta))\cos(\omega{}t-xk\sin(\theta))\\ \end{array}\right)$$
  et
  $$B=\frac{2E_0}{c}\cos(zk\cos(\theta)).\cos(\omega{}t-xk\sin(\theta))\vect{y}$$

Dans le cas général, où l'onde n'est polarisée ni perpendiculairement ni parallèlement, le vecteur $E$ peut être décomposé en deux composantes polarisées perpendiculairement et parallelement:

$$\begin{array}{lll} E_\parallel&=&E_0\cos(\alpha)\\ E_\perp &=& E_0\sin(\alpha)\\ \end{array}$$

Ce qui nous donne les ondes réfléchies:

$$E=\left( \begin{array}{l} 2\cos(\alpha)E_0\cos(\theta)\sin(zk\cos... ...theta)\cos(zk\cos(\theta))\cos(\omega{}t-xk\sin(\theta))\\ \end{array}\right)$$

et

$$B=\left( \begin{array}{l} -\sin(\alpha)\frac{2E_0}{c}\cos(\theta)... ...theta)\sin(zk\cos(\theta))\sin(\omega{}t-xk\sin(\theta))\\ \end{array}\right)$$

Ces dernières formules appellent plusieurs remarques:

• La fréquence du signal réfléchie n'est pas modifié (on reste en $wt$).

• Le facteur d'atténuation du signal réfléchie ne dépend pas de la fréquence de l'onde incidente.

Donc le métal parfait renvera la même quantitée d'énergie quelque soit la longueur d'onde de la lumière incidente. Celui ci se comporte donc comme un mirroir et n'est utile qu' en tant que modèle lorsque l'on veut modéliser les caractéristiques optiques des matériaux. Nous allons à présent étudier des modèles un peu plus réaliste.