L'espace CIE XYZ

Nous avons vu dans la section 4.1.1 que l'ensemble des spectres pouvait être décomposer en deux espaces vectoriels orthogonaux: L'espace visuel humain $P_A\RR^N$ correspondant à la partie visible de l'ensemble des spectres, l'espace noir $(I-P_A)\RR^N$ correspondant à la partie invisible.

Si nous utilisons trois spectres visibles comme base de l'espace visuel humain, il existera toujours des spectres ayant des coordonnées négatives sur cette base. Si nous utilisons par exemple l'espace ou les trois primaires sont vivibles la Figure 4.3 nous monre que les couleurs bleu-vert(450-550 nm) ne peuvent être reproduites par superposition des trois spectres. Ceci peut poser des problèmes dès que l'on désire travailler en synthèse additive (en n'ajoutant que des quantitées positives de couleur). La CIE à donc conçu un espace de couleur basé sur trois primaires X, Y et Z non visibles. Cet espace possède plusieurs propriétés intéressantes:

• Les triplets décrivant chaque couleur en fonction de ses primaires ont tous des valeurs positives pour les spectres visibles.

• La fonctions $y(\lambda)$ représente approximativement la sensibilité de l'oeil humain à la luminosité. La composante Y du triplet (X,Y,Z) est usuellement assimilée à la luminance du spectre incident.

• Tout spectre d''égale énergie est associé à un triplet dont toutes les composantes sont égales.

La transformation de l'espace à l'espace peut s'interpreter comme un changement de base donné par la matrice:

$$\left( \begin{array}{l} X\\ Y\\ Z\\ \end{array}\right) = ... ... ) * \left( \begin{array}{l} R\\ G\\ B\\ \end{array}\right)$$

Un ensemble de vecteurs 3D étant difficile à manipuler, et à visualiser. Un façon élégante de résoudre ce problème consiste a projeter les veteurs 3D sur le plan unitaire (le plan sur lequel la somme des composantes est égale à 1). La somme des trois composantes ne représantant que l'intensité de la couleur et non la proportion de chacune des primaires, l'on obtient ainsi un diagrame appellé diagrame de chromaticité les projetions des vecteurs 3D représentant les couleurs étant appellées des coordonnées chromatiques.

Le diagramme de chromaticité sans doute le plus utilisé est le diagramme chromatique xy de la CIE. Les coordonnées chromatiques x et y sont obtenues à partir des coordonnées X, Y et Z par la transformation suivante:

$$\begin{array}[center]{lll} x &=& \frac{X}{X+Y+Z}\\ y &=& \frac{Y}{X+Y+Z}\\ z &=& \frac{Z}{X+Y+Z}\\ \end{array}$$

Notez que l'on à $x+y+z=1$, seules deux coordonnées sont donc nécessaires pour représenter l''ensemble des couleurs. diagram_xyLe diagramme de chromaticité xy

La courbe représentée sur la Figure 4.5 représente l'ensemble des spectres monochromatiques et est appellée le spectrum locus. Soit $(X_i,Y_i,Z_i)$ les coordonnées XYZ du spectre monochromatique $e_i$ (pour i appartenant à 1N). Tout spectre $f$ étant une somme pondérée de $e_i$, on à:

$$f =\sum_{i=1}^N \beta_ie_i$$

si $c=(X,Y,Z)$ dénote la couleur associée à $f$ on obtient (voir equation 4.3):

$$\left( \begin{array}{l} X\\ Y\\ Z\\ \end{array}\right) =\... ...left( \begin{array}{l} X_i\\ Y_i\\ Z_i\\ \end{array}\right)$$

Donc:

$$x= \frac{X}{X+Y+Z}= \frac{\sum_{i=1}^N\beta_iX_i}{\sum_{i=1}^N\be... ...= \frac{\sum_{i=1}^N\beta_i(X_i+Y_i+Z_i)x_i}{\sum_{i=1}^N\beta_i(X_i+Y_i+Z_i)}$$

La coordonnée $x$ peut donc se voir comme une moyenne pondérée des différents $x_i$. Le même raisonnement pouvant être trenu pour $y$, le point $(x,y)$ est une moyenne des differents points $(x_i,y_i)$ du spectrum locus et se trouve donc à l'intérieur de son envelope convexe.La droite fermant cette envelope convexe joint les points correspondant aux longueurs d'ondes minimales et maximales et est appellée la ligne des pourpres (De fait les couleurs situées sur cette droite sont pourpres).

Notons enfin que l'espace $XYZ$ (et plus précisément son plan unitaire) est souvent utilisé pour désigner un espace couleur (voir exercices sections 4.3.2, 4.3.3 ainsi que 4.4.2, 4.4.3). Les principaux avantages de ce type de définition est de n'utiliser qu'un nombre réduit de valeurs et de permettre une définition explicite du blanc de coordonnées $(1,1,1)$ dans le nouvel espace.